KURZUS: Alkalmazott operációkutatás

MODUL: I. modul: Az operációkutatás tárgya és módszerei

1. lecke: Lineáris programozás fogalma és grafikus megoldása

|  | Tanulási útmutató
| Az operációkutatás tárgyát és módszereit a tankönyv Bevezetés című fejezetében találja meg. Különösen felhívjuk figyelmét a kvantitatív matematikai módszerek három irányzatára. Nem feltétlen kell a fogalmakat szóról szóra megtanulni. Fontos a lényeges kulcsszavak megjegyzése, ezek azonosítják a fogalmat és különböztetik a másik fogalmaktól.
| Először olvassa el a fejezetet, figyeljen oda a fogalmakban található kulcsszavakra. Konkrét példák segítik a tananyag megértését, ezért azokat is figyelmesen olvassa el. A Grafikus ábrázolás szemléletessé teszi a problémát és segíti a matematikai problémák numerikus megoldását is. A grafikus szemléltetést azért is alkalmazzuk előszeretettel, mert középiskolában általánosan használt megoldásként tanulták.
| Mindig legyen kéznél jegyzetfüzet, hogy rajzokat, számításokat maga is elvégezze. Kövesse a jegyzet által bemutatott elrendezést, hogy a lényegest mindig meg tudja különböztetni a mellékszámításoktól.
| Tevékenységek
| Olvassa el tankönyvben található Bevezetést. Jegyezze meg az operációkutatás kialakulásának történetét. Jellemző kulcsszavak felhasználásával fogalmazza meg az ökonometria, az operációkutatás és kibernetika definícióját. Olvassa el a tankönyvben található üzletember példát. Megismerheti az üzletember gondolkodásának sajátságait. Foglalja össze az üzletember gondolkodásának sajátosságait! Olvassa és jegyezze meg a gazdasági modellezés fogalmát és lépéseit. Különösen fontos, hogy a modell három fő alkatrészét megjegyezze és megértse: a döntési változókat, a tevékenység célját leíró célfüggvényt és a tevékenység korlátozását megadó egyenlőtlenség rendszert. Olvassa el a tankönyvben található Bevezetés a lineáris programozásba című részt. Tanulja meg a lineáris programozás fogalmát. Figyelmesen olvassa el a tankönyvben található példát. Itt fontos, gyakorlatban is előforduló gazdasági, logikai, matematikai fogalmat talál. Ezek megértése után tudja felírni a matematikai modellt. Töltsön itt annyi időt, míg meg nem értette a szövegből következő matematikai összefüggéseket. A matematikai modellt ábrázolja a középiskolában tanult koordináta-geometria módszerével. Igen megkönnyíti az ábrázolást, ha a tengelymetszeteket keresi meg! Ezt egy négyzetrácsos lapon érdemes elvégezni, hogy jól leolvashatók legyenek az L halmaz csúcspontjainak koordinátái. Ha a célfüggvényt jól tudta ábrázolni, akkor nem feltétlen kell a tankönyvben bemutatott számítást elvégezni, de fontos lesz az optimális megoldást mutató csúcspontok koordinátáit meghatározni és a hozzátartozó célfüggvény értéket kiszámítani. Értelmezze a bemutatott minimumfeladatot! Ha jól megértette a grafikus ábrázolás lényegét és vele kapcsolatos matematikai-gazdasági fogalmakat, akkor már könnyű lesz a minimumfeladat értelmezése és megérti a tankönyvben bemutatott "Optimális megoldás vizsgálatát". Javaslom, hogy a következő lecke tanulása előtt nézze át a grafikus megoldásokat és rögzítse az itt tanult fogalmakat.
| Követelmények
| Adott kulcsszavak felhasználásával ki tudja egészíteni az ökonometria, az operációkutatás és a kibernetika fogalmára vonatkozó hiányos mondatokat. A felsorolásból ki tudja választani a modell legfontosabb alkatrészeit és azok fogalmát. Felsorolásból ki tudja választani a modell fogalmát. Adott szöveges problémának fel tudja írni a matematikai nyelvén a megfelelőjét. Adott szöveges feladat alapján meg tudja határozni a matematikai modell együtthatóit, feltételeit, relációit, célfüggvényeit. Grafikus módszerrel meg tudja határozni egy konkrét kétváltozós lineáris programozási modell optimális megoldását. A sajátosságok felismerésével be tudja jelölni az alternatív optimum, a célfüggvény nem korlátos, az ellentmondó feltételek esetét.

|  | Önellenőrző feladatok
| 1. Fogalmazza meg az ökonometria, az operációkutatás és a kibernetika (mint gazdasági döntés-előkészítés) lényegét!
1 | 2 | 3 | 4 | 5
számítógépes szimuláció | törvényszerűségeket | bonyolult rendszerek | matematikai statisztikai | tényadatok
6 | 7 | 8 | 9 | 10
gazdasági optimum | matematikai programozás | hálótervezés | idősorok | ágazati kapcsolatok
11 | 12 | 13 |  |
többváltozós összefüggés-vizsgálat | szélsőérték feladatot | szabályozás és vezérlését |  |
| Egészítse ki az alábbi mondatokat az 1-13 számokkal jelzett szavakkal. Az üres mezőkbe a helyesnek vélt szó számjelét írja. Egy helyre csak egy számot írhat! 1/a Ökonometria olyan tudományos irányzat, amely közgazdasági elmélet által megállapított múltbeli alapján és módszerek felhasználásával számszerűsíti. Jellemző eszközei a(z) elemzése, és a(z) analízise. 1/b Operációkutatás szűkebb értelemben olyan tudományos módszer, amely a döntések előkészítéséhez, a(z) meghatározásához többnyire valamilyen alkalmaz. Jellegzetes eszközei a(z) és a(z) . 1/c Kibernetika olyan tudományos irányzat, amely a(z) felépítését, és működését, valamint a rendszerek tanulmányozza. Jellegzetes eszközei közé tartozik a(z) .
1 | 2 | 3 | 4 | 5
tulajdonságait | kiemelését | leegyszerűsített | lényeg | lekicsinyített
| 2. Fogalmazza meg a matematikai modell fogalmát! Egészítse ki az alábbi definíciót a megfelelő szavakat jelző számokkal! A modell az objektív valóságnak az ember által alkotott képe. A leegyszerűsítés a megragadását és szolgálja. Modell így a vizsgált objektum legfontosabb alkatrészeit, , kapcsolatait tartalmazza.
| 3. Válassza ki a felsorolásból a modell legfontosabb alkatrészeit!
| Tevékenységi vagy döntési változók.
| Célfüggvény, amely a döntési változóktól függ.
| Inverz mátrix.
| Lehetséges megoldások halmaza.
| Korlátozó feltételeket kifejező egyenlőtlenség-rendszer.
| 4. Írja fel a következő gazdasági probléma matematikai modelljét!
| Vegyen elő egy lapot, írja le a korlátozó feltételeket és a célfüggvényt! Rendezze úgy, ahogy a szimplex módszer alkalmazásához kell, majd az együtthatókat másolja be a táblázaton látható sémákba!
| Kövesse a a i 1 x 1 + a i 2 x 2 +...+ a i n x n ( ≤ ≥ ) b i sémát.
| Egy vállalat 4 féle terméket (T1...T4) termelhet 2 erőforrás (E1, E2) segítségével. Egy hónapban az első erőforrásból (munkaerő) 400 óra, a másikból (gépóra) 150 óra áll rendelkezésre. A termékek fajlagos erőforrás-szükséglete (óra/db), termékek ára és önköltsége az alábbi táblázatban látható:
Erőforrások | T 1 | T 2 | T 3 | T 4
E1 | 2 | 0 | 2 | 10
E2 | 0 | 3 | 4 | 9
Termék ára 1000Ft/db | 81 | 110 | 120 | 175
Önköltsége 1000Ft/db | 52 | 46 | 95 | 105
| Mennyit termeljünk az egyes termékekből, hogy a nyereség a lehető legnagyobb legyen?
| Írja fel a feladat matematikai modelljét, ha eleget kell tennie a következő feltételeknek:
1. | A munkaerőt teljesen ki kell használni.
2. | A gépek kapacitása nem léphető túl.
3. | A 3. termékből legalább 20 darabbal többet kell termelni, mint a 2. és a 4. termékből együtt.
4. | Az 1. és a 4. termék együttes árbevétele legalább 5 000 000 Ft legyen.
5. | Az összes költség legfeljebb 2 000 000 forint lehet!
6. | A 3. és az 1. termékek árbevételének aránya legfeljebb 3:5 legyen.
| Cél: az összes nyereség a lehető legnagyobb legyen!
A "kisebb egyenlő" illetve "nagyobb egyenlő" relációkat két jellel, <= és >= módon írja be! Az együtthatók előjelét is tüntesse fel! | 4/a A munkaerőt teljesen ki kell használni.
| x 1 együtthatója | x 2 együtthatója | x 3 együtthatója | x 4 együtthatója | reláció | Jobb oldal b
1. feltétel: |  |  |  |  |  |
| 4/b A gépek kapacitása nem léphető túl.
| x 1 együtthatója | x 2 együtthatója | x 3 együtthatója | x 4 együtthatója | reláció | Jobb oldal b
2. feltétel: |  |  |  |  |  |
| 4/c A 3. termékből legalább 20 darabbal többet kell termelni, mint a 2. és a 4. termékből együtt.
| x 1 együtthatója | x 2 együtthatója | x 3 együtthatója | x 4 együtthatója | reláció | Jobb oldal b
3. feltétel: |  |  |  |  |  |
| 4/d Az 1. és a 4. termék együttes árbevétele legalább 5 000 000 Ft legyen
| x 1 együtthatója | x 2 együtthatója | x 3 együtthatója | x 4 együtthatója | reláció | Jobb oldal b
4. feltétel: |  |  |  |  |  |
| 4/e Az összes költség legfeljebb 2 000 000 forint lehet!
| x 1 együtthatója | x 2 együtthatója | x 3 együtthatója | x 4 együtthatója | reláció | Jobb oldal b
5. feltétel: |  |  |  |  |  |
| 4/f A 3. és az 1. termékek árbevételének aránya legfeljebb 3:5 legyen.
| x 1 együtthatója | x 2 együtthatója | x 3 együtthatója | x 4 együtthatója | reláció | Jobb oldal b
6. feltétel: |  |  |  |  |  |
| 4/g Cél: az összes nyereség a lehető legnagyobb legyen!
| x 1 együtthatója | x 2 együtthatója | x 3 együtt-hatója | x 4 együtthatója | reláció | Jobb oldal b
célfüggvény |  |  |  |  | → |
| 5. Oldja meg grafikusan a következő lineáris programozási feladatot!
| x 1 x 2 ≥ 0 x 1 +2 x 2 ≤ 80 3 x 1 +2 x 2 ≤ 120 2 x 1 ≥ 20 z=160 x 1 +80 x 2 → max⁡
| Vegyen elő egy négyzetrácsos lapot, és ott ábrázolja a lehetséges megoldás halmazát. Majd válassza ki az optimális megoldást és számolja ki a célfüggvény értékét!
| 5/a Sorolja fel a lehetséges megoldási halmaz csúcspontjainak koordinátáit. Kezdje az origóhoz legközelebb lévővel és az óramutató járásával ellenkező irányban folytassa! A (; ) B (; ) C (; ) D (; )
| 5/b Optimális megoldás: x 1 = x 2 = z o p t =
| 5/c Jelölje be, hogy a fenti megoldás melyik esetnek felel meg!
| Egy optimális megoldás van
| Alternatív optimum esete
| Célfüggvény nem korlátos
| Ellentmondó feltételek esete
| 6. Az alábbi ábrák alapján oldja meg a feladatokat!
| Melyik ábra melyik esetet szimbolizálja. Írja be az ábra számát. Egy optimális megoldás van: Alternatív optimum esete: Célfüggvény nem korlátos: Ellentmondó feltételek esete: